浅谈利用轴对称解决线段和最小的问题

在初中数学里有很多基本图形,思想方法,若我们在学习中不断总结,不断巩固,这样对学习的提高,解决综合性问题有很大的帮助。我在多年初三教学中尤其是初三的复习过程中深深体会到利用一定的基本图形基本方法来解决问题的重性。而形成这样的解题方法关键在平时的锻炼与总结。下面我结合利用轴对称解决线段和最小谈谈自己的一点体会。
例1.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?在图中作出该处,并说明理由;

分析作点A关于CD的对称点A’;连结A’B交CD于点M,则点M即为所求的点。
证明在CD上任取一点M’,连结A’M、A’M’、BM’、AM,
∵直线CD是A、A’的对称轴,M、M’在CD上,
∴AM=A’M,AM’=A’M’,
∴AMBM=A’MBM=A’B,
在△ABC中A’M’BM’>A’B,
∴A’M’BM’>AMBM,即AMBM最小。
反思这个问题中利用轴对称性解决了AMBM最小,若求AMBM最小值怎么办呢?k我们可以从A’向直线BD作垂线,垂足为E。只已知A、B到小河的距离以及AB之间的水平距离就可以利用勾股定理在直角三角形A’EB求出A’B的长度,即AMBM最小值。
例2.在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上一定点,则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?

分析△PBE的周长=BEBPPE,而BE长度不变,只BPPE最小就行了。而正方形ABCD就是轴对称图形,B、D关于直线AC对称。所以连接DE交AC于Q,当P运动到Q点处时,△PBE的周长最小。
例3.如图,OA、OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立一个投递点,想使邮电员每次投递路程最近,问投递点应设立在何处?

分析本题是解决三条线段和最小的问题,分别作点P关于直线AO的对称点M,作点P关于直线BO的对称点N;连结MN分别交AO、BO于E、F;连接EF、PE、PF,△即为所求三角形。
∵在AO上任取一点E’,连结ME’、FE’、PE’。

∵M是P关于直线AO的轴对称点,
∴PE=ME,PE’=ME’。
在△ME’F中,
ME’E’F>MF=MEEF=PEEF
∴PE’E’FFP>PEEFFP
即△PE’F的周长>△PEF的周长。
同理,在BO上任取一点F’亦可证△PEF’的周长>△PEF的周长。
∴△PEF的周长最小。
感受中考
(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA-3,OB=4,D为边OB的中点.
(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
分析第一个问题由基本图形就能解决,作点D关于x轴的对称点D’,连接CD’与x轴交于点E,连接DE.在利用Rt△D’OE∽Rt△D’BC或Rt△D’OE∽Rt△CAE来求出点坐标。第二个问题四边形CDEF的周长最小,而四边形CDEF中CD,EF长度不变,只EDCF最小就行。虽然E、F都是动点,但是EF=2,当E确定了F也就确定了。这是可以将C向左平移2个单位得到G,作点D关于x轴的对称点G,连接GD′与x轴交于点E,连接DE就行
解作点D关于x轴的对称点D’,连接CD′与x轴交于点E,连接DE
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D’O=DO=2,D’B=6.
∵OE∥BC,
∴Rt△D’OE∽Rt△D’BC,有.

∴.
点E的坐标为(1,0).
(Ⅱ)如图,作点D关于x轴的对称点D’,在CB边上截取CG=2,连接D’G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2.
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF.
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.
∵OE∥BC,
∴Rt△D’OE∽Rt△D’BG,有.

∴.

∴.
∴点E的坐标为(,0),点F的坐标为(,0)

从利3用轴对称性解决线段之和最小的基本图形我们延伸了能够解决三角形周长最小、四边形周长最小等一系列问题。从一个个小问题中不断总结,不断提升,形成数学基本图形、基本方法,并加以应用,逐步提高分析问题、解决问题的能力,从而提高学习效果。

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